経済数学とは!?

    

経済数学を理解してる?

  

経済数学をなめてはいけない。経済学部は文系であるが、経済数学を理解するには、理系並みの数学的知識もしくは、センスが必要である。特に、微分・積分、とりわけ「微分」に関してだけでも良いから、高度な理解をしておくことが必要である。微分の意味や、2回微分することなども慣れておく方が良い。特に、通常の経済原論(ミクロ・マクロ経済)における経済数学としても、微分の理解は必須事項といえる。金融関連の仕事をするにしても、マーケティング関連の仕事をするにしても、経済数学の理解はその助けとなる。


経済数学の関所その1−最小2乗法−


経済数学において、経済原論を離れ、実証的な検証を行おうとすると (計量経済学など)最初につきあたるのが、最小2乗法である。もっとも、経済数学 などを知らなくともインプットとアウトプットがどの変数の実測値になるのかをよく確認して、 統計アプリケーションを動作させれば、結果は容易にわかるので (Rなどのフリーソフトもあるし、簡単な最小2乗法:回帰分析ならばエクセルでも可能) それ以上に、さわらないという手もある。しかし、マーケティング・リサーチなど、実際のデータに 基づく場合は多く、内容を理解しておく方が安全である。

しかしながら、大学院に行こうとかシンクタンクやリサーチ機関に就職しようと考えるのであれば 経済数学として、最小2乗法の原理をつかんでおくことが必須である。 誤差の2乗を式であらわし、それを最小化するポイントを見つける為に微分をして、変化率を求め それが0になるという条件の下、方程式を解くわけである。経済数学に強ければ あるいは、数学的センスがあれば、2乗すると下に凸だから、この方法で、最大値ではなく 最小値のポイントになるなということがすぐにわかる。

また、上記のように、計量経済学やマーケティング・リサーチなどで用いる数学は、 ほとんどが、「統計学」といっても過言ではない。すなわちこれらの分野においては、 経済数学=「統計数学」となる。ミクロ・マクロを知らずとも、 マーケティング・リサーチ機関で分析をする際には、統計の知識は必須である。


経済数学の関所その2−ヘッセ行列−


経済数学の関所としては、ヘッセ行列というものがある。 ヘッセ行列とは、多変数関数の2階偏導関数による作られる正方行列である。 このヘッセ行列の行列式、へシアンの値によって、特定のポイントが
・極小
・極大
・鞍点
のどれにあたるのかを判定できるというものである。

これは詳細な計算式を記憶していなくとも経済数学の常識として 知っておくことをお勧めする。なぜから、専門的なテキストでは 断りなくこの事実を使用するものがあるからである。 常識として知っておくだけで、テキストの言わんとする意味が理解できる。


経済数学の関所その2−ヤコビ行列−

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ヤコビ行列は理系の学生にもよく知られているが、 経済数学においても、非常に重要である。 高校数学でも、微分を用いて関数の接線の方程式を求めたと思うが、 ヤコビ行列は、多変数関数における接面の方程式、もしくは、 ある点の近傍での、線形近似を行う際に用いられる。

すなわち、y-f(a)=f'(a)(x-a)が1変数の接線の方程式(線形近似)であるが 経済数学においては、ヤコビ行列 JF( ) を用いて Y-F(A)=Jf(A)(X-A)とするのが、接面の方程式(線形近似)である。

経済数学のみならず、応用数学全般にみられる傾向であるが、 数学は線形の理論はきっちり体系化されているが、非線形の理論は難解で未知の ケースも多々存在する。ので、特に非線形の関数などでは、局所的に線形近似 して、その近傍周辺での議論に持ち込み、線形の理論を適用するケースが非常に 多い。そのため、このヤコビ行列が登場する頻度も多いわけである。


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